Dies ist möglicherweise eine bessere Frage für Math.SE. Das heißt ...

Diese Art von Problemen fallen in die Kategorie Wettbewerbsmathematik . Manchmal beziehen sie sich auf aktive Bereiche der mathematischen Forschung (meistens Zahlentheorie, Kombinatorik und Geometrie), aber häufiger befasst sich die aktuelle Forschung mit Problemen, die erheblich komplexer sind und nicht auf einer Seite gelöst (oder sogar angegeben) werden können oder zwei.

Beachten Sie auch, dass es zumindest in den USA nur sehr wenige Menschen gibt, die dafür bezahlt werden, dass sie Vollzeit und ausschließlich Mathematikforschung betreiben. Die meisten professionellen Mathematikforscher sind Professoren an Hochschulen und Universitäten, und ihre Aufgaben umfassen auch Lehre und Verwaltung (in unterschiedlichem Maße).

Es gibt eine anerkannte Subkultur von Mathematikern, die sich für Wettbewerbsmathematik interessieren. Sie können sich daran beteiligen, Probleme zu schaffen, Wettbewerbe zu organisieren und Schüler zu coachen. An einigen Universitäten können solche Aktivitäten als wesentlicher Bestandteil ihrer Forschungs- oder "Stipendien" -Aufgaben angesehen werden, aber sie unterrichten normalerweise auch regelmäßig Mathematikunterricht.

Bearbeiten: Eigentlich Es gibt eine Kategorie von Karrieren, die ich vergessen hatte: Intelligenz. Die NSA und ihre Kollegen (GCHQ usw.) beschäftigen viele tausend Mathematiker. Natürlich ist es für einen Außenstehenden schwierig zu wissen, was dort vor sich geht, aber es könnte sein, dass ihre Aktivitäten eher problemlösend sind. Zumindest sind sie nicht an die Anforderung gebunden, dass ihre Arbeit veröffentlicht werden kann! Die NSA hat ein bekanntes (und wettbewerbsintensives) Sommerpraktikumsprogramm für Studenten, das Director's Summer Program, so dass dies eine Möglichkeit sein könnte, diese Gewässer relativ früh zu testen.

Ich glaube, @ Mangaras Kommentar ist hier sehr relevant:

Zahlentheorie, Kombinatorik und Geometrie (die Bereiche, aus denen Project Euler hauptsächlich schöpft) haben tatsächlich viele zugängliche Probleme, die noch ungelöst sind.

Hier zugänglich, bedeutet, dass das Problem leicht erklärt werden kann. Ungelöste Probleme, die jeder verstehen kann, sind jedoch in der Regel äußerst schwierig . Wenn sie nicht wären, hätte jemand sie gelöst!

Holen Sie sich eine Kopie von Richard Guys ungelösten Problemen in der Zahlentheorie. Dort finden Sie einige Probleme, die "echte mathematische Forschung" darstellen, aber mehr oder weniger in der von Ihnen beschriebenen Weise liegen.

Sie können diese Forschung normalerweise nur an einer Universität durchführen (dafür bezahlt werden) Seien Sie sehr talentiert, um einen festen Job in diesen Bereichen zu bekommen, und es ist ein langer Weg. Aufgrund der starken Vernetzung der Mathematik unterscheiden sich die Techniken zur Lösung dieser Probleme häufig erheblich von den erwarteten - ein berühmtes Beispiel finden Sie im Beweis von Fermats letztem Satz über algebraische Kurven. Wenn Sie also in der Zahlentheorie arbeiten möchten, müssen Sie noch tief in andere Bereiche der Mathematik eintauchen und diese anwenden.

Administratoren, bitte verzeihen Sie mir (und informieren Sie mich, damit ich dies löschen kann), wenn dies zu weit vom Thema entfernt ist.

Ich schreibe nicht gerne Hunderte trivialer zwingender Codezeilen, um Firmengeld zu verdienen.

Wo ich jetzt bin: Ich bin Mitte zwanzig und habe vor kurzem das College mit einem B.S. in CS. Ich arbeite für ein Unternehmen, das Unternehmenssoftware herstellt (und natürlich Geld verdient).

Wo ich vor ein paar Jahren war: Ich bin in die Top 20 gekommen Schule (USA) und ging zunächst dort für einen BA In Mathe wollte ich den Rest meines Lebens damit verbringen, theoretische mathematische Probleme zu lösen und dann zu promovieren (das war eigentlich mein Traum seit der Mittelschule oder der frühen High School - ich kann mich nicht genau erinnern, wann). Ihr Gefühl erinnerte mich an mein eigenes (weshalb ich das gerade schreibe). Nun, irgendwann habe ich es mir anders überlegt, aber um es kurz zu machen - ich bin froh, dass ich es getan habe - ich verdiene mehr Geld (als Software-Ingenieur als Doktorand an einer örtlichen öffentlichen Universität gemäß den öffentlichen Gehältern) und was ich Jetzt zu tun macht wahnsinnig Spaß, definitiv mehr als ich gedacht hätte. (Es ist auch ein cooles Gefühl, in einen Raum voller Hunderte von Menschen zu gehen, die etwas verwenden, das Sie mitgestaltet haben, um ihr Leben zu erleichtern.)

Ich habe gelernt, dass ich gerne kritisch über Probleme nachdenke. und ich finde gerne die schnellsten, effizientesten und elegantesten Lösungen.

Wenn Sie ein Geschäftsgeld verdienen, gibt es immer noch genügend Möglichkeiten, kritisch über Probleme nachzudenken (zumindest dort, wo ich arbeite), und Sie können immer noch schnelle, effiziente und elegante Lösungen finden (Ich schaudere etwas über Bewertungen von Software-Engineering-Lösungen der Superlative - es sind alles Kompromisse und Kompromisse bei Ihren Lösungen. Welche Ecke des CAP-Theorems opfern Sie im Austausch für die beiden anderen und warum usw.) für die Probleme; Es ist nur eine Ihrer impliziten Einschränkungen, Geld.

Mein Rat: Tun Sie natürlich, was Ihnen Spaß macht, und lassen Sie sich nicht von anderen Ihre Träume auferlegen, seien es Ihre Eltern, Freunde oder Fremde im Internet, aber behalten Sie es ein offener Geist für das, was du mit deinem Leben machst. (Und bitte entschuldigen Sie alle Klammern :))

Wie @NateEldredge bereits erklärt hat, sind solche leicht verständlichen Fragen, die am häufigsten in Mathematikwettbewerben oder als Rätsel auftauchen, meist nicht das, was es einer Person ermöglichen könnte, als akademischer Mathematiker ihren Lebensunterhalt zu verdienen, außer in Fällen extremer Extreme Talent vielleicht.

Zumindest ebenso idealisiert zielt die akademische Mathematik darauf ab, Standpunkte zu entwickeln und zu validieren, die grundlegende Fragen klären. "Problemlösung" ist bedeutsam, befindet sich jedoch am äußersten Ende der phänomenologischen Aspekte des Geschäfts. Wie Nate E. bemerkte, werden die meisten "aktiven" Fragen in der Mathematik von Amateuren oder vielleicht sogar von Nichtfachleuten nicht leicht verstanden. Diese Fragen sind meistens nicht leicht zu beantworten ...

Hier ist die Ansicht aus meiner Sicht:

• Die Art von interessanten Problemen, die Sie in jeweils 30 Minuten bis 7 Tagen lösen können (wie bei Mathematikolympiaden, wettbewerbsorientierten Programmierwettbewerben, und die übrigens einen enormen Wert haben, indem sie Spaß für jeden machen, der in sie hineinkommt und einer großen Anzahl von Schülern zugänglich ist, sowie ihre geistigen Fähigkeiten und praktischen Fähigkeiten entwickeln), sind für die meisten Fachleute normalerweise nicht von Interesse Mathematiker, weil sie als zu trivial angesehen werden. Forschungspublikationen erfordern mehr Substanz als ein paar Beobachtungen und eine direkte Anwendung eines 100 Jahre alten Theorems. Außerdem würden Sie in der Aufgabe ertrinken, die relevante Literatur zu zitieren.

• Wenn Sie als professioneller Forschungsmathematiker Ihren Job behalten möchten, werden Sie effektiv dazu gezwungen Finden Sie irgendwo in einem Bereich eine Grenze und veröffentlichen Sie Ergebnisse, die sehr wahrscheinlich neu sind und von Fachzeitschriften gut angenommen werden. Sie können erwarten, viele interessante Unterprobleme zu treffen, aber auch viele Fragen, die frustrierend keine einfachen Antworten haben. Außerdem sind die Chancen, dass diese Art von Arbeit Auswirkungen auf ein Gebiet außerhalb der Mathematik hat, nicht groß.

• Interessante Unterprobleme tauchen bei allen Arten anderer Forschungen immer wieder auf nicht nur in der Mathematik. Selbst bei Programmieraufträgen, die nicht als Forschung betrachtet werden - manchmal besagt eine Anforderung, dass bestimmte Aspekte sich auf bestimmte Weise verhalten und bestimmte Einschränkungen erfüllen müssen, und naive Lösungen erweisen sich als nicht gut genug.

Alles zusammenfügen

Um die Frage ein wenig zu ändern, gibt es meiner Meinung nach eine große Auswahl an Jobs, bei denen 10 bis 30% Ihrer Zeit für die Lösung interessanter Teilprobleme aufgewendet werden. Diese beschränken sich nicht nur auf mathematische Forschung. Sehr wenige Jobs, bei denen diese Zahl 100% beträgt (die Leute tun dies auf freiwilliger Basis, um Probleme für Codeforces, TopCoder usw. zu überprüfen, ganz zu schweigen davon, dass sie nur zum Spaß konkurrieren).