Ich habe selbst eine fehlgeschlagene Dissertation geschrieben. Daraus resultierten keine Papiere. Glücklicherweise hatte ich ein bedeutendes Nebenprojekt, das veröffentlicht wurde, und 11 Jahre später stammt der Hauptthema meiner Forschung immer noch aus diesem Nebenprojekt. (Ich nehme an, ich hätte das Nebenprojekt stattdessen als meine Dissertation schreiben können, aber ich habe es nicht getan.)

Erstens ist kein Projekt jemals ein vollständiger Fehlschlag. Zumindest schaffen Sie es, einige (möglicherweise fast triviale) Sonderfälle zu beweisen, Sie beweisen einige hilfreiche Deckspelzen, Sie finden, dass bestimmte Deckspelzen, von denen Sie gehofft haben, dass sie hilfreich sind, Gegenbeispiele haben, und Sie finden bestimmte Methoden, die Sie möglicherweise nicht anwenden. t gilt nicht, da einige Hypothesen, die zur Verwendung dieser Methoden erforderlich sind, in Ihrem Fall nicht erfüllt sind. Es ist möglich, all diese Dinge aufzuschreiben, was zu einer Dissertation führt, in der es im Wesentlichen um "Wie man Problem X nicht löst (außer in diesem sehr kleinen Sonderfall)" geht. (Dies ist im Grunde meine Dissertation.)

Zweitens arbeiten Mathematikstudenten, insbesondere in Spitzenprogrammen, nur selten an einem Problem. Ihr Berater schlägt Ihnen möglicherweise ein Hauptproblem vor, an dem Sie arbeiten können. Sie besuchen jedoch Seminare, um sich über andere Probleme zu informieren, sprechen mit anderen Doktoranden oder Postdocs und lernen andere Probleme usw. kennen Zumindest ein wenig Zeit, um über diese anderen Probleme nachzudenken. Wenn Sie bei Ihrem Hauptproblem stecken bleiben, müssen Sie noch andere Probleme lösen, und es ist durchaus üblich, dass das, was Sie gelernt haben, um an Ihrem Hauptproblem zu arbeiten, Ihnen stattdessen bei der Lösung dieser anderen Probleme hilft. (Dies ist im Grunde das, was mir passiert ist, außer dass dieses andere Problem nicht in meiner Dissertation gelandet ist.)

Drittens ziehen Berater, insbesondere in den frühen Phasen der Arbeit an einem Problem, normalerweise ziemlich schnell den Haken, wenn es so aussieht, als würden keine Fortschritte erzielt. Die meisten Berater kennen viele Probleme und wissen, wie ein völliger Mangel an Fortschritten aufgrund eines zu harten Problems aussieht. Selbst später können Berater manchmal einfachere Probleme vorschlagen, die in einem kürzeren Zeitrahmen gelöst werden können (vorausgesetzt, was ein Schüler bereits gelernt hat). In einigen Fällen erhält der Student nach einigen Runden fehlgeschlagener Probleme eine Dissertation, die ungefähr so ​​schwer ist wie ein halbwegs anständiges Forschungsprojekt für Studenten (und zu null oder einer Arbeit in einem "Nur-Schreiben" -Journal führt).

Es ist richtig, dass eine Dissertation, die aus einem gescheiterten oder fast trivialen Projekt heraus geschrieben wurde, bei Bewerbungen für Jobs, bei denen Forschung wichtig ist, nicht gut ankommt (es sei denn, es gibt ein umfangreicheres Nebenprojekt). Manchmal kann ein einflussreicher oder überzeugender Berater in Empfehlungsschreiben stark genug argumentieren, damit der Student einen Postdoc erhält, aber dies ist jetzt schwieriger als vor 10 Jahren, wenn man bedenkt, wie viel wettbewerbsfähiger der Arbeitsmarkt ist.

Ein guter Berater wird die Schüler von "Alles oder Nichts" -Problemen fernhalten. Diese Art von Problemen ist eine realistische Möglichkeit. Ein stereotyper Fall ist beispielsweise ein elementarer Versuch, eine berühmte Frage in der Zahlentheorie zu lösen, bei der das wahrscheinlichste Ergebnis ein konkretes Verständnis dafür ist, warum dieser spezifische Ansatz einfach nicht funktionieren kann, und niemand anderes wird schrecklich interessiert sein, da er nie gedacht hat Es hatte in erster Linie eine Chance.

Ein gutes These-Problem muss mehrere Eigenschaften haben:

1. Es sollte interessant und aufmerksamkeitsstark sein, wenn es gelöst wird. Dies ist die leicht zu erreichende Eigenschaft.

2. Sie sollte sich in einem Bereich befinden, der so reich und vielfältig ist, dass jeder ernsthafte Versuch, sie zu lösen, etwas Wertvolles aufdeckt, selbst wenn Dies führt nicht zu einer Lösung des ursprünglichen Problems.

3. Es sollte dem Schüler helfen, Wissen aufzubauen und sich darauf vorzubereiten, in mehrere neue Richtungen zu verzweigen. (Das heißt, Sie sollten nicht den Zustand erreichen, in dem nichts mehr zu tun ist, und die fortgesetzte Arbeit sollte natürlich eher breiter als enger werden.)

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Insbesondere # 1 ist bei weitem nicht genug. Wenn Sie auch die Nummer 2 haben, spielt es keine Rolle, ob das ursprüngliche Problem gelöst ist, während die Nummer 3 wichtig ist, um den Schüler für den Erfolg über die Graduiertenschule hinaus vorzubereiten.

Die optimistische Antwort auf Ihre Frage lautet also, dass der Berater darauf achten sollte, dass dies nicht zu einem Problem wird, indem er den Schüler zu einem Problem führt, bei dem eine Nichtlösung keine Katastrophe darstellt. Natürlich gibt es auch das pessimistische Szenario, in dem der Berater es vermasselt hat oder der Student keinen Rat einnimmt, und das Problem ist wirklich nicht für eine Abschlussarbeit geeignet. In diesem Fall müssen Sie sich so gut wie möglich durchwühlen, wahrscheinlich indem Sie eine suboptimale These schreiben und anschließend versuchen, dies durch andere Arbeiten auszugleichen. Glücklicherweise scheint dieses Szenario nicht allzu oft aufzutreten. (Und der schlimmste Fall ist, wenn der Schüler einfach nichts erreicht, aber das kann in jedem Bereich passieren.)

Es gibt eine Reihe erfolgreicher Ergebnisse, bei denen der gewünschte Beweis nicht gefunden werden muss. Hier einige Beispiele:

1. Sehr oft ist eine gute mathematische Frage nicht nur deshalb gut, weil die Antwort nützlich wäre, sondern weil die Techniken, die zu einer Antwort führen könnten, nützlich sind. Wenn Sie neue mathematische Werkzeuge entwickeln, können diese selbst eine würdige These bilden, auch wenn sie keinen Beweis darstellen.
2. Sie können ein Zwischenergebnis erzielen, das eine neue Möglichkeit eröffnet, das größere Ergebnis zu beweisen. In der Tat zielen viele Thesen nur darauf ab, wenn das größere Ergebnis etwas Großes wie die Riemann-Hypothese, die BSD-Vermutung usw. ist.
3. Wenn Sie nach einem Beweis für X suchen, können Sie eine verwandte Frage Y entdecken und finden Ein Beweis, der Y auflöst. Y könnte interessanter als X oder einfach zugänglicher sein. Dies wird in Uri Alons bekanntem Kurzpapier zur Auswahl eines Problems erörtert. Ich empfehle dieses Papier jedem, der diese Frage stellt.
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Ein guter Berater hilft Ihnen dabei, ein Thema für eine Abschlussarbeit zu finden, das mehrere Möglichkeiten und mehrere Stufen potenziellen Fortschritts aufweist, sodass es keine ist Alles-oder-Nichts-Unternehmen.

Meine Statistikprofessorin im letzten Semester sagte, dass sie traurig darüber ist, dass Zeitschriften nicht mehr dazu neigen, fehlgeschlagene Studien / Theorien zu veröffentlichen. Eine gescheiterte Theorie ist genau das. Sie zeigt, dass Sie eine Theorie hatten, aber Sie haben bewiesen, dass sie falsch ist! Das ist eine unglaubliche Menge an Informationen, und wenn Sie diese mit mehreren anderen Studien kombinieren, die dasselbe zeigen, haben Sie immer mehr Beweise dafür, dass die Theorie falsch ist. Wenn wir zum Beispiel nur die erfolgreichen Theorien / Studien veröffentlichen, verzerren wir unsere Ergebnisse in gewissem Sinne, weil es möglicherweise 50 Studien gegeben hat, die zeigen, dass es keine Beweise dafür gibt, dass die Theorie wahr ist, aber wenn es eine einzige Studie gab, wer gerade noch über die Schwelle geschafft, um die Theorie als wahr zu beweisen, dass man hätte veröffentlicht werden können und jetzt boomt, ist die einzige veröffentlichte Information über diese Theorie eine, die "beweist, dass sie wahr ist". Ich bin auch kein Mathematik-Hauptfach, aber ich dachte, dies sei ein interessantes Thema genug, um es mit Ihnen zu teilen. Das Ergebnis eines nicht schlüssigen Experiments enthält immer noch eine sehr große Datenmenge, die für andere noch Jahre später sehr wichtig sein könnte.

Ist es fair anzunehmen, dass die Arbeit den Versuch beinhaltet, etwas zu beweisen? Was passiert, wenn Sie nicht können?

Nein. Nicht in allen Thesen geht es darum, "Dinge zu beweisen", zumindest nicht im engeren Sinne. Eine These kann sehr rechnerisch sein, Vermutungen formulieren oder Beispiele / Gegenbeispiele für einige Phänomene finden. Viele Thesen (und Arbeiten), auch wenn sie einen Satz beweisen, beschränken sich darauf, eine Theorie zu verstehen und einige (nicht unbedingt numerische) Berechnungen durchzuführen.

Wie Alexander Woo sagt, auch wenn Sie nicht beweisen können, was Wenn Sie sich auf den Weg machen, können Sie in der Regel etwas Neues finden (manchmal nur eine neue Sichtweise), wenn Sie einigermaßen kompetent sind und genügend Zeit damit verbringen. Tatsächlich ist es selbst für professionelle Forscher üblich, dass Sie nicht beweisen, was Sie sich vorgenommen haben. Ich habe nicht bewiesen, was ich für meine Diplomarbeit versucht habe, aber ich habe einige Ergebnisse und ein paar Papiere daraus erhalten. Mehrere Jahre sind für die meisten Menschen ausreichend Zeit, um zumindest etwas zu bekommen.

Aber wenn Sie X Jahre Zeit haben, um beispielsweise etwas für eine Promotion zu beweisen, und Sie nicht können, was passiert dann? Erhalten Sie einfach keinen Doktortitel?

Wie gesagt, die Chance ist gut, dass Sie zumindest etwas Neues bekommen, oder Sie können zu einem anderen Projekt wechseln, wenn es hoffnungslos erscheint. Ihr Berater wird Ihnen hoffentlich dabei helfen, Sie zu führen und Sie davon abzuhalten, zu lange Sackgassen zu folgen. Ich versuche, die Projekte für meine Schüler in Bereichen zu erstellen, in denen es viele Probleme in der Nähe gibt. Wenn ihr Projekt nicht funktioniert, müssen sie nicht viel mehr lernen, um ein anderes Problem auszuprobieren. Wenn Ihr Berater der Meinung ist, dass Sie genug für eine Promotion haben, können Sie eine Abschlussarbeit einreichen, aber natürlich erhalten Sie keine Promotion, nur weil Sie X Jahre lang an etwas gearbeitet haben.

Ich habe keine genauen Daten dazu, aber meiner Erfahrung nach haben die meisten Doktoranden, die es in den ersten Jahren geschafft haben (z. B. an guten Schulen in den USA), einen Doktortitel. Wo ich hingegangen bin, haben fast alle, die angefangen haben, promoviert - und fast alle, die während oder nach dem ersten Jahr nicht gegangen sind, weil sie festgestellt haben, dass eine Promotion nichts für sie ist. An weniger angesehenen Schulen sind die Erfolgsquoten nicht ganz so gut, aber ich denke immer noch, dass die meisten Leute, die ihre Promotion nicht abgeschlossen haben, gekündigt haben, bevor sie lange Zeit mit Forschung verbracht haben.

Ein Fall:

Ich hatte ein interessantes Problem im Sinn. Ich dachte an den absolut einfachsten Fall und gab ihn dem Schüler, um daran zu arbeiten. Danach dachte ich, wir könnten allgemeinere Fälle versuchen und schrittweise an der ganzen Sache arbeiten. Nun, es stellte sich heraus, dass der erste Sonderfall zwei Jahre dauerte, bis der Student fertig war. Das war also die These. (Soweit ich weiß, wurde das allgemeinere Problem bis heute nie gelöst.)

Sie versuchen nicht immer, einen bestehenden Satz zu beweisen. Nach meiner Erfahrung sind die zentralen Sätze der Arbeit zunächst nicht bekannt. Sie gehen ein grobes Problem an und versuchen, neue Ergebnisse zu finden. In meinem speziellen Fall ging es darum, eine Situation zu analysieren, in der Teilergebnisse vorhanden waren, für einige der Konstanten jedoch keine vernünftigen Schätzungen gefunden wurden. Mein zentrales Ergebnis war ein Theorem, das Situationen charakterisiert, in denen man optimale Konstanten finden und wie man sie tatsächlich berechnet.

Ich hatte anfangs das gleiche Problem mit 'keine Ergebnisse' - am Ende musste ich a auswählen neues Thema nach 2 Jahren. Es gab jedoch noch einige Ergebnisse auf dem Weg. Selbst wenn der Hauptbeweis nicht funktioniert, ist es unwahrscheinlich, dass Sie auf diesem Weg nicht einmal Teilergebnisse erhalten oder etwas Neues entdecken.

Ich konnte in meiner Arbeit immer noch etwa 30 Seiten mit den Ergebnissen füllen Ich hatte vom ersten Thema an. Für eine Promotion allein hätte es nicht gereicht, aber es war auch nichts. Es hat geholfen, dass die Themen ähnlich waren und man ein paar Parallelen ziehen konnte.