Frage:
Schöne gegen hässliche Zahlen bei Hausaufgaben und Tests
ZachS
2020-08-11 09:50:21 UTC
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Diese Frage dreht sich um die Verwendung von ganzen Zahlen (-1, 0, 1, 2, 3) oder einfachen Brüchen (½, ⅓, ⅗) im Vergleich zu reellen Zahlen (-1,254, 42,72) beim Unterrichten von Konzepten, beim Zuweisen von Hausaufgaben und beim Vorbereiten Tests für Mathematik, Naturwissenschaften oder Ingenieurwissenschaften. Für den Rest dieser Frage werde ich ganzzahlige oder einfache Brüche nice und reelle Zahlen ugly nennen.

Nehmen wir der Einfachheit halber das an Sie unterrichten eine Matheklasse, und das erste Thema ist die grundlegende Ergänzung. Wenn Sie es zum ersten Mal unterrichten, würde ich davon ausgehen, dass Sie es mit schönen Zahlen unterrichten möchten. Zum Beispiel wäre die Verwendung von 2 + 2 = 4 gegenüber 1,234 + 5,678 = 6,912 vorzuziehen. Manchmal kann man sich im Unkraut der Berechnungen verlieren ("einfach diese Zahlen hier einstecken und die Antwort herausbekommen") und die Konzepte völlig verfehlen. Während Konzepte wichtig sind, ist es wichtig, dass die Schüler die Konzepte für kompliziertere Probleme anwenden können. Während ein Teil von mir der Meinung ist, dass Lernkonzepte für nette und hässliche Zahlen gleich sein sollten, gibt es meiner persönlichen Erfahrung nach einen Unterschied (vielleicht nur einen kleinen) zwischen diesen beiden.

Um dies zu erleichtern Besseres Lernen und bessere Anwendung des Kursmaterials auf reale Probleme. Sollten Sie auch Hausaufgaben mit hässlichen Zahlen und Antworten einschließen? Wie wäre es mit Tests? Während meines Ingenieurstudiums schien es viele Probleme zu geben, die nette Eingaben und / oder Antworten hatten. Die meisten Fragen hatten keine wirklich hässlichen Antworten. Wird dies normalerweise gemacht, um das Lernen für die Schüler zu verbessern, oder wird dies gemacht, um die Benotung zu erleichtern? Möglicherweise kann die Verwendung des Taschenrechners auch die Art der verwendeten Nummer beeinflussen. Insgesamt wäre es schön zu verstehen, warum Professoren und / oder Lehrer oft nette Zahlen für Aufgaben auswählen.

Wenn es helfen würde zu wissen, ist der Hauptantrieb dieser Frage, dass ich einige der Hausaufgaben oder vielleicht sogar Tests für Klassen automatisieren möchte. Ich möchte in der Lage sein, mehrere Versionen von Hausaufgaben oder Tests zu generieren, damit die Schüler nicht einfach Antworten voneinander kopieren können. Wenn ich Hausaufgaben mache, kann es schwierig sein, nette Lösungen gegen hässliche Lösungen zu finden. Ich glaube, ich habe eine Methode zur automatischen Einstufung, das ist also kein Problem. Die Hauptsache, die ich beibehalten möchte, ist eine gute Lernerfahrung für die Schüler.

Anmerkung zu π und anderen irrationalen Zahlen: Für mein Studium war π natürlich in vielen Problemen enthalten, und dies macht technisch Probleme Antworten haben, die irrational sind. Für die meisten Probleme ist es akzeptabel, das Symbol π in die Antwort aufzunehmen, anstatt die numerische Form in die Berechnungen einzubeziehen. Diese Probleme könnten mit impliziter Multiplikation wie 2π oder 3π / 5 immer noch gut geschrieben werden.

Obwohl ich nicht denke, dass Ihre Frage hier nicht zum Thema gehört, ist sie mit ziemlicher Sicherheit besser für [matheducators.se] geeignet.Tatsächlich existiert [ein Duplikat] (https://matheducators.stackexchange.com/q/468/75) bereits.
Kommentare sind nicht für eine ausführliche Diskussion gedacht.Diese Konversation wurde [in den Chat verschoben] (https://chat.stackexchange.com/rooms/111727/discussion-on-question-by-zachs-nice-vs-ugly-numbers-in-homework-and-tests).
Dreizehn antworten:
Reese
2020-08-11 20:54:25 UTC
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Ich denke, ich werde mit vielen Antworten hier grundsätzlich nicht einverstanden sein.

Nette Zahlen erleichtern Probleme definitiv, und ich mache es mir zur Gewohnheit, sie bei der ersten Einführung eines Konzepts zu verwenden. Sie machen es den Schülern bequemer und lassen sie sich auf die Schlüsselidee konzentrieren, die ich zu unterrichten versuche. Aber Ich verlasse mich bei Tests oder Aufgaben nie auf nette Zahlen. Hier gibt es drei Hauptgründe:

  1. Ich hatte im Laufe der Jahre viele Studenten, die wirklich aufhören, ein Konzept zu verstehen, wenn ihnen "hässliche" Zahlen präsentiert werden. Ich hatte zum Beispiel Schüler, die leicht den Durchschnitt von 2 und 6 finden können, aber wenn sie gefragt werden, ob sie den Durchschnitt von 2,3 und 6,7 finden möchten, wissen sie nicht einmal, wie sie anfangen sollen. Hier geht es nicht darum, durch die Berechnungen verwirrt zu werden. Es ist so, dass sie über "nette" Zahlen anders denken als über "hässliche". Im Fall des Durchschnitts bestand das Problem wahrscheinlich darin, dass der betreffende Schüler den Durchschnitt als "die Zahl in der Mitte" und nicht als "die durch zwei geteilte Summe" betrachtete, was bei der Arbeit mit ganzen Zahlen sinnvoll ist, aber nicht anders. Das Problem ist, dass Sie solche Verständnisfehler nicht erfassen können, ohne zumindest gelegentlich hässliche Zahlen zu verwenden.
  2. Kein Student, und Per Alexandersson wies darauf hin, dass viele Studenten den Test "nette Zahl" verwenden, um dies zu sagen ob ihre Antwort richtig ist - sie neigen dazu, der Antwort zu vertrauen, wenn sie "2" bekommen, nicht so sehr, wenn sie "2.134" bekommen. Aus der Perspektive "Sei nett zu deinen Schülern" solltest du also nette Zahlen verwenden. Aber die Sache ist, dass sie in buchstäblich jeder Anwendung, die sie später im Leben für dieses Material haben werden, nicht mit Problemen arbeiten werden, die sorgfältig kuratiert wurden, um schöne Zahlen zu produzieren. Wenn Sie ihnen etwas beibringen, von dem Sie erwarten, dass sie es später verwenden, ist es ein schlechter Dienst, ihnen zu erlauben, den Test "nette Nummer" weiterhin zu verwenden.
  3. Im Grunde gibt es weit weniger "nette" Zahlen als "hässliche". Ich habe Schüler Probleme "lösen" lassen, indem sie davon ausgegangen sind, dass die Antwort eine ganze Zahl ist, und dann ihren Weg zum Erfolg erraten und überprüfen.
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    Das heißt, wenn Sie hässlich verwenden Zahlen, müssen Sie einige Zugeständnisse machen, damit das funktioniert. Folgendes mache ich:

    1. Ich erlaube wissenschaftliche (nicht grafische) Taschenrechner für jede Aufgabe und jeden Test.
    2. Ich erlaube vereinfachte Antworten, außer wenn es um Vereinfachung geht. Sie können ihre Antwort daher gerne als kompliziertes Durcheinander von Radikalen hinterlassen, wenn sie möchten.
    3. Ich warne sie ausdrücklich, dass die Zahlen, die an einigen Problemen beteiligt sind, unordentlich sein können, und ich gehe durch "chaotisch". Probleme im Unterricht.
    4. Ich nehme mir etwas Zeit im Unterricht, um Techniken zu unterrichten, mit denen beurteilt werden kann, ob Ihre Antwort richtig ist und die nicht auf der Freundlichkeit der Zahl beruhen. Mein bevorzugtes ist "Baseballstadion", bei dem Sie den Kontext der Frage verwenden, um die allgemeine Größe der Antwort abzuschätzen (ist sie positiv oder negativ? Größer als tausend usw.).
    5. Probleme, die damit verbunden sind Hässliche Zahlen dauern in der Regel länger als solche mit schönen Zahlen - selbst ich finde, dass ich langsamer werde, wenn ein Problem seltsame Brüche oder Dezimalstellen umfasst. Berücksichtigen Sie dies beim Schreiben von Tests.
    6. Probleme mit hässlichen Zahlen sind anfälliger für geringfügige Fehler als Probleme mit schönen Zahlen. Zum Beispiel möchten Sie wahrscheinlich keine Antwort in einer Kalkülklasse als "völlig falsch" zählen, weil sie "2.146" anstelle von "2.156" in ihren Rechner eingegeben haben. Ich biete immer umfangreiche Teilkredite an, die auf den gezeigten Arbeiten basieren, und markiere im Allgemeinen keine Fehler, die kein Unverständnis zeigen oder die Schwierigkeit des Problems ändern. Für Online-Tests erlaube ich den Schülern, ihre Arbeit zusammen mit ihren Antworten einzureichen.
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Ein weiterer Punkt: Zumindest in den Naturwissenschaften sollten Studenten ihr Ergebnis auch auf die richtige Anzahl signifikanter Stellen (+ -1 oder so) runden.(Die richtige Ausbreitung von Unsicherheiten ist normalerweise zu zeitaufwändig, es sei denn, genau das sollten sie in diesem Kurs lernen.) Diese Fähigkeit lernen sie nicht, wenn alle Zahlen immer "nett" sind.
"Ich habe im Laufe der Jahre viele Studenten gehabt, die wirklich aufhören, ein Konzept zu verstehen, wenn ihnen" hässliche "Zahlen präsentiert werden." Ich habe ähnlich gesehen.Ich erinnere mich an einen Klassenkameraden, der nicht herausfinden konnte, was die Ableitung von pi ist.
Persönlich denke ich, dass nette Zahlen am besten im Mathematikunterricht und hässliche Zahlen im naturwissenschaftlichen und technischen Unterricht verwendet werden, aber ansonsten denke ich, dass dies eine großartige Antwort ist.Eine Sache, die mich interessiert, ist, dass ich bei der Mittelung sagen würde, dass 2,3 und 6,7 ziemlich schöne Zahlen sind, da 3 + 7 = 10, und natürlich sind pi und e sehr schöne Zahlen, obwohl sie transzendent sind.
+1 Stellen Sie sicher, dass Sie den Schülern mitteilen, dass Sie in Prüfungen keine schönen Zahlen mehr verwenden, wenn Sie das Material zuvor mit schönen Zahlen unterrichtet haben.
+1 für den 6. Punkt, und ja, als Physik- und Mathematikstudent stimme ich der obigen Antwort definitiv zu.
"In buchstäblich jeder Anwendung, die sie später im Leben für dieses Material haben werden", in den meisten Fällen nie ...
(4) ist eine überraschend nützliche Lebenskompetenz - nicht nur zur doppelten Überprüfung von Berechnungen, sondern auch zur Überprüfung von Datenanalysen und sogar zur Festlegung von Geschäftsentscheidungen ("Ist dies wahrscheinlich unsere Zeit wert?").
Ich bin mit Ihrem Punkt nicht einverstanden (2).Ein Fachmann sollte seine Antworten mit Methoden überprüfen, die nicht in den Umfang eines Mathematikunterrichts fallen, geschweige denn für eine Mathematikprüfung geeignet sind.Wenn ich im Verlauf eines Mathe-Tests feststellte, dass aus einem Integral eine hässliche Zahl wurde, könnte ich weitermachen und es erneut versuchen, wenn ich Zeit habe.Wenn ich feststellen würde, dass es $ \ sqrt {\ pi} $ ist, würde ich die Vorzeichenfehler und dergleichen schnell überprüfen und einfach weitermachen.Ich habe Prüfungen abgelegt, bei denen praktisch jede Frage hässliche Zahlen verwendet, und uns gezwungen, Sigfigs usw. zu verwenden. Es war verschwenderisch, Rechnerdisziplin üben zu müssen.
@nomen Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Position hier verstehe.Wollen Sie damit sagen, dass man in einem Mathematikkurs nicht die Techniken zur Überprüfung von Antworten unterrichten sollte, die in der Praxis angemessen sind?Die von Ihnen beschriebene Strategie ist eine gute Strategie für die Durchführung von Tests.Aber ich bereite meine Schüler nicht auf Tests vor, sondern auf die Lösung von Problemen.Wenn ein Schüler seine Arbeit überprüft, weil eine Antwort unerwartet unordentlich war, ist das in Ordnung.Aber wenn ein Schüler * glaubt, dass er falsch liegt *, nur weil eine Antwort chaotisch war, habe ich ihn nicht auf echte Probleme vorbereitet.
Die Disziplin des @Reese:-Rechners ist für jede moderne Praxis selten relevant.Wir benutzen jetzt Computer.Und wir verwenden andere Techniken, um eine Lösung zu überprüfen, als das Problem erneut zu lösen. Dies ist häufig / normalerweise die einzige Option bei einer Testfrage, die uns auffordert, "zu vereinfachen" oder ähnliches.Was wird also getestet?Dass wir die Knöpfe schnell genug drücken können?Es hat keinen Sinn.Ich würde lieber ein anderes interessantes Hausaufgabenproblem machen, als 3 Stunden damit zu verbringen, das Drücken von Knöpfen zu üben.
@nomen Es tut mir leid, ich verstehe immer noch nicht.Ein Computer ist im Wesentlichen ein leistungsstarker Taschenrechner.Es ist genauso anfällig für grundlegende Tippfehler wie ein Taschenrechner.Und Sie sagen zu Recht, dass ein Test, bei dem die Tasten eines Taschenrechners vollständig gedrückt werden, Zeitverschwendung wäre.Ein solcher Test müsste vollständig arithmetisch sein, und es ist nicht angebracht, Taschenrechner für einen arithmetischen Test zuzulassen.Bei einem Test auf der Ebene der Algebra oder höher, selbst wenn es sich um "unordentliche" Zahlen handelt, kostet die Taschenrechnerarbeit höchstens ein paar zusätzliche Minuten.Was das, was getestet wird, betrifft, denke ich, dass ich in # 1 klar war.
@Reese: "im Wesentlichen" bedeutet nicht "ist".Ein Computer wird normalerweise mit einer Hochsprache programmiert, und jeder syntaktische Fehler führt zu einem Fehler oder Absturz, nicht zu einer falschen und falschen Antwort.Ein Computer ermöglicht auch den Ausdruck von Logik in einer Berechnung, was bedeutet, dass die Ergebnisse von Berechnungen implizit weitergegeben und nicht neu eingegeben werden können.Rechnerfehler passieren, und können Sie sich wirklich erinnern, ob Sie für diese letzte Variable x, y oder t verwendet haben?Ein Taschenrechner hingegen gibt eine falsche und falsche Antwort auf einen typischen Tippfehler.
@Reese:, warum sollten Sie diese "paar Minuten" (pro Frage!) Auch nur mit mechanischem Knopfdruck verschwenden, wenn diese Stunde genutzt werden könnte, um die Beherrschung nützlicher Techniken zu demonstrieren?Niemand glaubt, dass ich keine Polarkoordinaten machen kann, weil die Testantwort pi ^ 2/6 war. Tatsächlich zeigte meine Antwort Meisterschaft.
@nomen Ich verstehe.Ich bin erfreut zu hören, dass unordentliche Zahlen anscheinend * Ihr * Verständnis mathematischer Techniken nicht beeinträchtigen.Das war auch für mich als Student der Fall, und es war eine nützliche Fähigkeit.Wie ich jedoch in meiner ursprünglichen Antwort in Nummer 1 angegeben habe, ist dies meiner Erfahrung nach bei vielen Studenten nicht der Fall.Ich werde auch darauf hinweisen, dass ich in # 2 oben ausdrücklich die Option gebe, "implizit weiterzugeben";In # 6 oben diskutiere ich explizit die teilweise oder sogar vollständige Gutschrift für kleinere Rechnerfehler.Als ich schließlich ein paar Minuten sagte, meinte ich ein paar Minuten, nicht pro Frage.
@Reese: Solange die Politik vernünftig ist, ist das in Ordnung.Hier ist, woher ich komme: Ich habe einige professionelle Prüfungen abgelegt, bei denen Sie 6 Minuten pro Problem erhalten, die Analyse 3-5 dauert und der Taschenrechner 2-3 dauert.Sie testen etwas (wie Zeitmanagement) zusätzlich zur Meisterschaft, aber auf Kosten der Demonstration der Meisterschaft.Und die Realität ist, dass ein Fachmann automatisierte Testmethoden unter viel lockereren Zeitbeschränkungen verwenden würde als ein Schüler, der ein Kalkül-Finale absolviert.Ich würde also viel lieber "bemerkenswerte" Zahlen sehen als nicht, zumal die College-Tests so eine Freude waren.
Patricia Shanahan
2020-08-11 17:25:59 UTC
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Sie schreiben "Ich glaube, ich habe eine Methode zur automatischen Bewertung, das ist also kein Problem." Wenn Sie auf die automatische Bewertung angewiesen sind, sollten Sie einfache Zahlen verwenden.

Es gibt zwei Möglichkeiten, eine falsche Antwort zu erhalten, die Methode nicht richtig zu machen und einen Fehler beim Kopieren von Frage zu Taschenrechner und zu machen vom Taschenrechner zum Antwortbogen. Während der manuellen Benotung können Sie diese unterscheiden, indem Sie von den Schülern verlangen, dass sie ihre Arbeit zeigen und diese benoten. Die automatische Einstufung hat in der Regel das gleiche Gewicht, wenn Sie nicht wissen, wie eine Berechnung durchzuführen ist, und eine falsche Ziffer eingeben.

Die Verwendung einfacher, leicht zu überprüfender Zahlen verringert das Risiko von Taschenrechnerfehlern.

Gute Beobachtung und es hat mich herausgefordert, die Falten hier zu finden.Irgendwann kann jede noch so einfache Antwort zu Transkriptionsfehlern führen.Ich würde also argumentieren, dass es ein Kontinuum gibt und Sie grundsätzlich auswählen müssen, wie viel Präzision / Rundung in der eingereichten Antwort erforderlich ist.Dies wird direkt von LMS-Plattformen unterstützt und passt besonders gut zum technischen Fokus des OP.
Mit automatischer Benotung meine ich, dass Fragen als richtig oder falsch markiert würden.Wenn eine Frage als falsch markiert wurde, ist es meiner Meinung nach wichtig, die Frage zu überprüfen, um festzustellen, wo der Schüler einen Fehler hatte, und bei Bedarf eine Teilgutschrift zu erteilen.Selbst wenn die Antwort als richtig markiert wäre, würde ich einige Tests nach dem Zufallsprinzip auswählen, um zu sehen, wie die Schüler ihre Arbeit zeigten.
In der Antwort von o.m. finden Sie Informationen dazu, warum Ihr Einwand gegen die automatische Einstufung falsch ist.Rechnerfehler können beseitigt werden, indem genügend hässliche Antworten als Optionen angegeben werden.
user2768
2020-08-11 12:01:19 UTC
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Während ein Teil von mir der Meinung ist, dass Lernkonzepte für nette und hässliche Zahlen gleich sein sollten, gibt es nach meiner persönlichen Erfahrung einen Unterschied (vielleicht nur einen kleinen) zwischen diesen beiden.

Ich würde einen Unterschied erwarten: Hässliche Zahlen behindern das Anwenden und Lernen eines Konzepts. Zum Beispiel Durchschnitt (–1, 0, 1, 2, 3), (½, ⅓, ⅗) und (–1,254, 42,72). Das erste, was ich in meinem Kopf tun kann, indem ich einfach das Konzept der Mittelwertbildung anwende, ist die Addition trivial, die Aufteilung einfach, ich denke nur über das Konzept nach. Bei den anderen denke ich nicht an das Konzept, sondern an Brüche und komplexere Additionen / Divisionen.

Um ein besseres Lernen und eine bessere Anwendung des Kursmaterials auf die Realität zu ermöglichen -Weltprobleme, sollten Sie auch Hausaufgaben mit hässlichen Zahleneingaben und -antworten einschließen?

Ich habe gerade argumentiert, dass hässliche Zahlen ein Hindernis für das Lernen darstellen, daher sind nette Zahlen vorzuziehen , imo.

Wie wäre es mit Tests?

Dasselbe. (Haben die Schüler außerdem Taschenrechner?)


Letztendlich hängt es davon ab, was Sie unterrichten möchten.

@zabop ;-) Obwohl: Komplexe Zahlen sind ein Hindernis für das Lernen!(Bearbeitet und behoben, danke.)
Ich mochte immer Tests und Hausaufgaben, die man ohne Taschenrechner erledigen konnte.
Ein Informatikprofessor von mir sagte oft, da "wir unsere Variablen alles benennen können, nennen wir diese" Fred "."Nach einem Tag war es noch einen Schritt weiter vom einfachen Verständnis entfernt.
`-1` Der Umgang mit 'hässlichen' Zahlen ist ein wichtiger Teil des Lernens, wie man diese Art von Problemen löst.Sicher, es ist am besten, mit 'netten' Zahlen zu beginnen, wenn ich ein neues Konzept durcharbeite, aber ich habe als Teenager wirklich geglaubt, dass ich aus dem Problem keine 'gut' aussehende Nummer (oder keinen Ausdruck) für das Problem bekommen habe.dass ich irgendwo auf dem Weg einen Fehler gemacht hatte.Dies beinhaltete Berechnungen, die ich in meiner eigenen Freizeit durchführte und die vom Problemsteller nicht zur Freundlichkeit gezwungen worden wären.Ich habe eine Weile gebraucht, um mich aus diesem Muster herauszuarbeiten.
Bei der Berechnung des Durchschnitts von (-1, 0, 1, 2, 3) stellte ich fest, dass es sich um eine lineare Progression handelte, und wählte nur die mittlere Zahl aus, ohne Addition oder Division.Dies ist ein gutes Beispiel für Zahlen, die zu nett sein können.Sie möchten sicherstellen, dass der einfachste Weg zu einer korrekten Lösung der Weg ist, den Sie vermitteln möchten.
@Ingolifs Indeed: _ Letztendlich hängt es davon ab, was Sie unterrichten möchten._
user128236
2020-08-11 16:53:02 UTC
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Da dies eine Website über Hochschulbildung ist, werde ich in diesem Zusammenhang antworten.

Das einzig "Schwierige" an "hässlichen" Zahlen ist, konkrete Grundoperationen mit durchzuführen sie, wie sie hinzuzufügen und so weiter. Alles bis dahin wird normalerweise algebraisch mit Variablen ( x , y , z …) ausgeführt. Studenten sollen bereits wissen, wie man Grundrechenarten ausführt, auch mit "hässlichen" Zahlen. Dies ist nie das, was Sie in der Hochschulbildung unterrichten möchten. Lassen Sie Ihre Schüler entweder einen Taschenrechner verwenden oder verwenden Sie "hübsche" Zahlen in Ihren Daten. Wenn Sie sich Sorgen über die Anwendbarkeit in der Praxis machen, wissen Sie sicherlich, dass heute jeder, der diese Art von Aufgaben ausführen muss, mit einem Computer arbeitet, der wesentlich besser in der Lage ist, mathematische Berechnungen durchzuführen als jeder Mensch.

As Bei computergenerierten Hausaufgaben hatte ich die unglückliche Pflicht, dies im letzten Frühjahr zu tun, wie viele von uns, denke ich. Es war nicht besonders schwierig, "hübsche" Zahlen zu erzeugen, selbst wenn ich zum Beispiel komplizierte lineare Systeme erzeugen musste, um sie zu lösen. Stellen Sie sicher, dass Ihre Frage von einigen Parametern abhängt (sagen wir 3-5), und stellen Sie sicher, dass diese Parameter als Ganzzahlen in einem vernünftigen Bereich (z. B. [-5,5]) angenommen werden. Wenn Sie dann nicht verrückt werden, wie Sie Fragen aus Parametern ableiten, erhalten Sie hauptsächlich "hübsche" Zahlen. Und da ich davon ausgehe, dass Sie es nicht wagen würden, Schülern, die Sie noch nicht einmal angeschaut haben, eine Frage zu stellen, würden Sie bei einer flüchtigen Überprüfung der automatisch generierten Fragen schnell Fälle mit schlechten Kanten erkennen.

Wenn ich Mathematik auf College-Ebene unterrichte, wie abstrakte Algebra, lineare Algebra, Wahrscheinlichkeit, diskrete Mathematik (einschließlich Kombinatorik) und Analyse, sehe ich keinen Vorteil darin, hässliche Zahlen in Problemen zu verwenden.Die Konzepte sind anspruchsvoll genug und die Zahlen werden schnell "interessant", wenn nicht "nett", wie pi, e, die Quadratwurzel von 2, die Kardinalität der natürlichen Zahlen und die Kardinalität der Realzahlen.Für die meisten meiner College-Mathematik gab es keine Zahlen, weder nett noch hässlich, es gab hauptsächlich wahr / falsch, Definitionen und Beweise für Tests.
Per Alexandersson
2020-08-11 15:03:00 UTC
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Ich möchte, dass eine Frage im Test hässliche Zahlen enthält, da die Schüler lernen sollen, ihren Berechnungen zu vertrauen, und nicht "die Antwort ist eine schöne Zahl" als Überprüfungsmethode verwenden. Hässliche Zahlen sind großartig, um Ihnen beizubringen, der Methode und dem Wissen zu vertrauen. Aber meistens sind sie einfach nur nervig.

Das Vertrauen in hässliche Zahlen bedeutet jedoch nicht das Vertrauen in die Methode, sondern das Vertrauen in Ihre Berechnungen - etwas, das selbst für die Besten von uns manchmal sehr leicht schief gehen kann, insbesondere bei hässlicheren Zahlen, selbst wenn Sie die Methode zu 100% korrekt angewendet haben.Ich würde argumentieren, dass es besser ist, saubere Zahlen zu haben, damit die Schüler ihre Berechnungen nicht jedes Mal 1: 1 durchgehen müssen, nur um sicher zu gehen.
Bei den Berechnungen wird jedoch die Methode angewendet.Und was ist gut daran, dass Ihre Schüler ihre Arbeit nicht überprüfen müssen?
Flydog57
2020-08-12 03:37:32 UTC
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Welche Art von Schülern unterrichten Sie? Wenn Sie Grund- oder Oberschüler unterrichten, verwenden Sie die Zahlen, die Ihrem Lehrplan entsprechen. Wenn Sie Ingenieurstudenten unterrichten, sollten Sie Zahlen aus der realen Welt verwenden.

Sie sagen "Während meines Ingenieurstudiums schien es viele Probleme zu geben, die nette Eingaben und / oder Antworten hatten. ". Wow, welche Art von Technik hast du studiert? Nach der Hälfte meiner ersten echten Ingenieurklasse hatte fast jedes Problem, das ich hatte, keine ordentliche Lösung - wir verwendeten Versuch und Irrtum, um fast jedes Problem zu lösen (auf programmierbaren Taschenrechnern der ersten Generation (denken Sie an HP-25)). Die Zahlen machten Sinn - ein Wärmetauscher könnte mit 100.000 BTU / h bewertet werden, zum Beispiel keine ungerade Zahl. Aber die Rohre, die zu dieser Ausrüstung führen, könnten 4 Zoll Schedule 40 sein (das sind 4,026 Zoll Innendurchmesser - ich hatte immer ein Rohrplanheft zur Hand, zusammen mit Dampftischen in meiner Tasche). Wenn ich die ideale Gaskonstante R verwendet habe, habe ich immer eine Version mit 5 signifikanten Stellen verwendet (und ich konnte diese Werte von R in 4 oder 5 verschiedenen Einheitensystemen abrütteln - ich habe in Kanada mitten im Übergang von imperial zu metrisch studiert Einheiten).

Wenn Sie unterrichten, möchten Sie Zahlen verwenden, die Ihren Schüler zum Nachdenken herausfordern und keine Angst haben, die Probleme zu lösen, die er sieht, wenn er sein Senior-Design-Projekt durchführt oder wenn er seinen ersten Job bekommt . Es macht keinen Sinn, Zahlen mit viel größerer Präzision zu verwenden, als sie bei echten Problemen zu sehen sind, aber Sie betrügen sie, wenn Sie alles zu "niedlich" machen, indem Sie Probleme haben, die Ganzzahlen als Eingaben und insbesondere Ganzzahlen als Ausgaben enthalten.

Wenn Sie sie wirklich herausfordern möchten (und sie dazu bringen möchten, die von ihnen verwendeten Zahlen zu verstehen), lassen Sie sie einen Rechenschieber kaufen oder ausleihen und geben Sie ihnen den Test "Keine Taschenrechner erlaubt" (übrigens, wenn Sie das tun möchten Sie wahrscheinlich sicherstellen, dass die Probleme mit einem Rechenschieber relativ einfach zu lösen sind (viele Multiplikationen und Divisionen und sonst wenig).

Not a grad student
2020-08-11 13:20:37 UTC
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Bei einem Test möchten Sie nicht, dass die Schüler immer unsicher sind, ob sie die richtige oder die falsche Antwort in Bezug auf Algebra erhalten haben. Daher werden im Allgemeinen nette Zahlen bevorzugt. Wenn Sie sie nur testen möchten, um die grundlegenden Methoden zu kennen, und davon ausgehen, dass sie mit komplizierteren Zahlen arbeiten können, ist es eine Ablenkung, die Zahlen unordentlich zu machen. Zumindest müssen Sie den Schülern eine Vorstellung davon geben, was sie erwartet. Wenn alle Antworten bis auf eine nette Antworten haben und die andere eine unordentliche Antwort hat, verbringen die Schüler, die die unordentliche (aber richtige) Antwort erhalten, ihre ganze Zeit damit, ihre Algebra zu überprüfen, wenn sie ihre Zeit für andere verbringen könnten Probleme.

Auf HW denke ich, dass unordentliche Zahlen in Ordnung sind, aber ich denke, dass das Schreiben von "Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel" angemessen wäre.

Für Klassen niedrigerer Ebenen, Es ist jedoch eine gute Idee, irgendwann in HW einige unordentliche Zahlen zu verwenden. Einmal während einer Abschlussprüfung für Precalculus dachte eine Studentin, dass sie es versäumt habe, eine vertikale Asymptote zu finden, weil sie eine Zahl bekam, die keine ganze Zahl war. Offensichtlich können vertikale Asymptoten nur bei ganzzahligen Werten auftreten. Nun, sie sah sich ihre Arbeit noch einmal an und hatte einen kurzen Einblick, als sie ihren Fehler fand und feststellte, dass die Asymptote tatsächlich einen ganzzahligen Wert hatte.

user128265
2020-08-12 13:41:12 UTC
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Ich bin kein Pädagoge. Ich bin einfach ein Mathematik-Absolvent, der in verwandten Branchen arbeitet, aber meine Antwort wäre ein hartes Nein-Nein für nette Zahlen. Einige Antworten behaupten, dass die Schüler mithilfe der Intuition wissen, ob das Ergebnis korrekt ist. Es gibt absolut kein Szenario, in dem Intutition eine gute Bestätigung für das Ergebnis ist (ohne zu sagen, dass es für die Auswahl der richtigen Berechnungsmethode nutzlos ist). Sie möchten den Schülern absolut nicht beibringen, sich darauf zu verlassen, dass das Ergebnis gut ist. Eine andere Antwort erwähnt, dass durch ihre Verwendung die Notwendigkeit entfällt, ihre Berechnungen zu überprüfen. Dies ist ein absolut entscheidender Schritt. Sie sollten Ihre Berechnung immer mindestens einmal überprüfen. Es ist ein Prozess, der niemals einen Nachteil hat. Andernfalls könnten Sie Nachrichten wie "Einsturz von Gebäuden töten 50 Menschen, weil ein Ingenieur einen Fehler gemacht hat, aber die Nummer sah gut aus, sodass er nicht noch einmal nachgesehen hat" hören.

EDIT: Ich habe meine Berechnungen tatsächlich öfter überprüft, wenn das Ergebnis wirklich gut war. Wenn es nicht so wäre, hätte ich angenommen, dass ich die beste Methode verwendet habe, die mir einfiel, und das Schlimmste, was passieren konnte, war, einen Punkt für das falsche Ergebnis zu verlieren. Glücklicherweise hatte ich meistens Professoren und Lehrer, die die Methode benoteten, nicht das Ergebnis.

BEARBEITEN 2: Sie möchten Ihren Schülern beibringen, über eine Lösung nachzudenken, nicht wie man das System spielt. Dieselben Schüler könnten später lernen, nach rechtlichen Lücken zu suchen, um ein halbfertiges und manchmal gefährliches Produkt zu liefern, anstatt das erwartete zu tun (siehe Dieselgate-Skandal, warum an der Lösung arbeiten, wenn Sie nur das Ergebnis spielen können).

ZeroTheHero
2020-08-12 02:20:52 UTC
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Ich habe die Angewohnheit, meistens eine schöne Anzahl von Aufgaben und Tests zu geben. Als "meist nette" Zahl gilt beispielsweise Sqrt [2] oder Log [6] oder e ^ 7. Auf diese Weise können die Schüler Antworten in exakter Form (ohne Gleitkomma) ohne allzu große Schwierigkeiten bereitstellen.

Ich würde mich von Dingen wie Sqrt [1 + Sqrt [2]] $ fernhalten, die ich für wirklich hässlich halte. Die Schüler wissen das. Wenn sie eine Antwort wie Sqrt [21/213] erhalten, vermuten sie, dass es wahrscheinlich einen Fehler in ihrer Berechnung gibt.

Jetzt habe ich in einigen Kursen auch Fragen zu Aufgaben, die vollständig numerisch sind (vg Plotten) einige Lösungen für einige nichtlineare Differentialgleichungen). Selbst in diesen Fällen werde ich versuchen, „schöne“ Randbedingungen zu finden, damit die Schüler überprüfen können, ob ihre Intuition mit der numerischen Ausgabe übereinstimmt.

Die Kinder verpassen $$ \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {1 + 3 \ sqrt {1 + 4 \ sqrt {1+ \ dotsc}}} $$ und die (traurige, aber definitiv nicht hässliche) Geschichtevon Srinivasa Ramanujan?Der Grund, warum die meisten Leute Mathematik "hassen", ist, dass Mathematiklehrer im Gegensatz zu Kunst oder Literatur oft vergessen, ihren Unterricht über die menschliche Dimension und die faszinierende Neurowissenschaft, die hinter unserem mathematischen Denken steht, zu pfeffern.https://www.youtube.com/watch?v=leFep9yt3JY
Oskar Limka
2020-08-12 17:23:29 UTC
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Die Verwendung hässlicher Zahlen hat einen pädagogischen Vorteil: Benutzer werden versuchen, sie zu vermeiden und sich dabei Algebra beizubringen, indem sie Symbole anstelle bestimmter Ganzzahlen, Brüche oder Dezimalerweiterungen maninpulieren. Die Idee ist, dass Sie den Ausdruck so weit wie möglich vereinfachen, bevor Sie die tatsächlichen Zahlen eingeben.

Es hängt also wirklich davon ab, was Sie unterrichten möchten.

Übrigens Was Sie als "reelle" Zahl bezeichnen, wird als "Dezimalzahl von Nicht-Ganzzahlen" bezeichnet, was ein ziemlich hässlicher Name ist, da -1, 0, 1/2 oder 1 auch reelle Zahlen sind.

o.m.
2020-08-14 19:22:50 UTC
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Es wurde vorgeschlagen, meinen Kommentar in eine Antwort umzuwandeln.

  • Verwenden Sie 'hässliche' Zahlen für eine ganze Seite mit Aufgaben.
  • Nehmen Sie alle Ergebnisse und fügen Sie ein paar weitere "hässliche" Zahlen als Ablenker hinzu. Listen Sie sie am unteren Rand des Arbeitsblatts auf.

Das bedeutet, dass die Schüler üben, mit 'hässlichen' Zahlen zu arbeiten. Sie können leicht überprüfen, ob kein arithmetischer Fehler aufgetreten ist, indem sie ihr Ergebnis in der Liste finden. Das Erraten wird jedoch nicht bestanden. Wenn die Nummer nicht in der Liste enthalten ist, besteht der erste Schritt darin, zu überprüfen, ob sie auf ihrem Taschenrechner falsch geschrieben oder ihre Summen falsch angegeben haben.

user1172394
2020-08-13 04:16:26 UTC
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Wenn der Zweck der Hausaufgaben nicht darin besteht, sie auf ihre Fähigkeit zu testen, Grundrechenarten auszuführen, geben Sie statt Variablen Variablen an, und die Antwort sollte ein Ausdruck in Bezug auf diese Variablen sein.

Los Von diesem Punkt zu einer numerischen Antwort sind nur einige einfache, aber langwierige arithmetische Berechnungen.

eckes
2020-08-13 09:59:50 UTC
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Die Verwendung schönerer Zahlen ermöglicht eine flüssigere Berechnung in Tests. Ich denke, dies ist im Allgemeinen eine gute Sache.

Es gibt jedoch Situationen, in denen Sie explizit die Grundlagen symbolischer Berechnungen vermitteln möchten, in denen beispielsweise rationale Zahlen wie 1/3 sicherstellen, dass die Aufgabe nicht numerisch gelöst werden kann ohne führende Präzision. Bei Trigonometrie-Fragen können sie sich manchmal auf die Tatsache stützen, dass Zwischenergebnisse in pi-Brüchen ausgedrückt werden.

In einem der genannten Beispiele würden 2,3 und 6,7 das Verständnis besser testen als bei der Frage nach dem Durchschnitt der Zahlen nette Zahlen. Ich würde jedoch argumentieren, dass dies tatsächlich nette Zahlen sind, da sie zu einer runden Zahl addieren und leicht durch 2 geteilt werden können. Das Ergebnis ist also eine klare 4,5, ohne dass ein Taschenrechner oder das Risiko eines Rundungsfehlers erforderlich ist.



Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 4.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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